一人目終了時点での獲得商品数の分布
さて、ここまでは平均値についてのみ見てきましたが、もちろん内部的にはもう少し詳しい情報も得られています。例えば、一人目が終わった時点での平均獲得商品数は0.072なわけですが、この中には一個も賞品をとってない場合、一個取った場合、二個取った場合…が含まれているわけです。せっかくなのでこれらの情報もグラフにしてみました。
一人目終了時点での獲得商品数の分布
二人目終了時点までの獲得商品数の分布
三人目終了時点までの獲得商品数の分布
四人目終了時点までの獲得商品数の分布
一人目終了時点では、93.3%以上の確率で一枚も取れていません。まあこれは当たり前で、1/15の確率をクリアしないことには賞品を獲得できませんから、100%-6.666%の確率で一枚も取れないことになります。また、二個目の賞品を取るためにも1/13の確率をクリアする必要がありますから、二個以上取れる確率もぐっと低くなります。二人目、三人目終了時点においても、賞品０の確率が一番高く、その後はほぼ単調減少という傾向は共通です。ただし、その差は縮まっており、三人目終了時点では、賞品０の確率と賞品１の確率がほとんど同じにまでなっています。そして、この傾向は四人目で変わります。一番確率が高いのは二個となり、続いて１個、３個となっています。
また、８個とも賞品をゲットできる確率というのが意外と高くなっていることもわかります。10回に一回くらいは、全賞品ゲットという回があるというとこですね。ただ、ここでの計算では、参加者がミスをすることは考慮に入れていません。一度見えたパネルは完璧に覚えているという仮定です。実際には緊張しているのか、ケアレスミスをしてしまう人というのが結構な確率でいますので、もう少し低い値になってきます。
逆に一個も賞品を取れない確率というのも8%程度あります。12回に一回くらいの割合ですね。全部取れる確率と、一個も取れない確率がほぼ同じというのは面白い結果だと思います。
これらのグラフを一枚にまとめたものを次に示します。
すでに取られた賞品数
横軸が順目、縦軸が確率です。色の違いが何個の賞品が取られたかを示しており、積み上げグラフとなっています。四人目までは先ほど見たとおりですが、その後は８個とも取られる確率が急激に増えていきます。五人目終了時点ですでに55%を超え、六人目では96%、七人目では99.988%にまでなっています。なお、八人目終了時点では理論的にすべての賞品を取ることが出来ますので、当然100%になっています。
さらに、他の状態にあるパネルの枚数についても同じような情報が得られていますので、それぞれグラフを描いてみました。
二枚ともすでにめくられたが、まだ取られていない賞品数
二枚とも場所が分かっているのにまだ取られていない賞品の数です。当然のことながら、このようなパネルは次の人が必ず取ってしまうため、この数が１を超えることはありません。したがって、０個と１個しかグラフには登場しません。また、計算式から明らかなように、平均のグラフを逆さまにしたものと一致します。四人目の人は、50%くらいの確率でこのような賞品に出会う事ができるという結果です。
一枚だけめくられた賞品数
次に、一枚だけがめくられた賞品の数です。一人目終了の時点では、必ずこの数は２となります。これは、何個の賞品を取ったとしても、失敗するときには必ず二枚ともまだめくっていないパネルをめくることになるからです。二人目終了時点でも同じような理由から、四個の賞品がこのような状態になっていることが多くなります。三人目終了時点でも四個と六個の確率が高くなっています。そして他のグラフと同じように、四人目の後から急激にグラフが動いている様子を見ることが出来ます。
二枚ともめくられていない賞品数
次は、二枚ともめくられていない賞品の数です。これは先ほどのグラフの逆で、六個、四個、二個が順番に多くなる傾向があります。
さて、ここまでかなり詳しくグラフ化をして確率を見てきましたが、内部的にはもう少し細かい計算までやっています。例えば、二人目終了時点で一個も賞品を取っていない確率は、すでに見たように74%くらいなのですが、この中には二つの状態が存在します。ひとつは、見えている四枚のパネルの中身がばらばらの場合、もうひとつは一つ重なっている場合です。
前者の状態を、０ ０ ４ ４
後者の状態を、０ １ ２ ５
と表現します。四つの数字は、最初に定義したパネルの状態に対応しており、それぞれ、
にある商品の個数を表しています。この表記方法にしたがって、各順目におけるこれらの分布を表にしたものを次に示しておきます。興味のある人はじっくりと眺めてみて下さい（笑）
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