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宝くじの話

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2005/8/15

お金持ちになりたいなーとか考えていたら、なんとなく宝くじを買いたくなってきました。
なんだかんだいっても億のお金を一発で手に入れるには一番てっとり早いかなと思って…。
ちなみに今まで宝くじを買ったことは一度もありません。
理由は期待値が低いから、の一言に尽きます。
宝くじを買うくらいなら株とか不動産とか、競馬とかパチンコとか、他に期待値の高いものはいろいろあります。

でもなんとなく宝くじを買ってみたい。
でもそれは自分の信条に反するような気がする。

ということで、自分を納得させるべく、宝くじについてちょっと考えてみました。

モデルにしたのは2005年のサマージャンボです。
まずは期待値の計算。
1ユニット1000万枚、一枚300円に対して、当選金額と枚数、期待値は次の通り。

本数 当選金額 期待値
一等 1本 200,000,000円 6.667%
前後賞 2本 50,000,000円 3.333%
組違い賞 99本 100,000円 0.330%
二等 1本 100,000,000円 3.333%
三等 10本 10,000,000円 3.333%
四等 200本 1,000,000円 6.667%
五等 100,000本 3,000円 10.000%
六等 1,000,000本 300円 10.000%
ラッキーサマー賞 10,000本 10,000円 3.333%
46.997%

右下の数字がトータルの期待値です。
ご存知だと思いますが、無茶苦茶低い数字です。
300円の投資に対して平均的に返ってくるお金はたった141円です。
お金をドブに捨てるよう、というふうに例えられるのもうなずけます。
ちなみにこの期待値は宝くじ毎に結構異なっているようですが、50%を越えることはありません。

例えば30億円持っている人が、1ユニット全部買い占めたら、この人は確実に一等を当てることができます。
でもトータルで戻ってくるのは1,409,900,000円だけで、16億円くらいの損になってしまいます。
これが今まで私が宝くじを買わなかった理由です。

でも、これだと一生宝くじを買えないので、ちょっと考え方を変えてみます。

普通宝くじを買うときに考えることは何でしょうか?
多分ほとんどの人は2億円当たったら何に使おうって事だと思います。
つまり期待値がどうとかあまり関係なくて、一等が当たる可能性はどのくらいかって事が重要なんだと思います。

ということで、一等の当たる確率を買う枚数ごとに計算してみます。

N枚買ったときに少なくとも1枚が一等に当選する確率は、
全部が一等に当たらない確率を1から引けば求まります。

1 - (9999999/10000000)^N

1枚買ったときの確率はそのまんま、1/1000万。
10枚のときは1/100万くらいになります。
これをグラフにしたものが下の図です。

横軸が買う枚数、縦軸が一等の当たる確率です。
1E+07っていうのは10の7乗のことで、1000万枚を表しています。
あたり前のことですが、たくさん買えば買うほど当たる確率はアップします。
ただ1000万枚(30億)買ったとしても、その確率は63%くらいにしかなりません。
ちょっと厳しいものがありますね。

それから、この曲線が上に凸なのがくせものです。
枚数が少ないうちはほとんど直線なので、
10枚買えば大体10倍、100枚買えば大体100倍、といった感じで確率アップしていくのですが、
あまりたくさん買いすぎるとそのアップ度合いが鈍ってきます。
もちろん一等が2本以上当たる可能性や、2等以下が当たる可能性がありますので、
別に損はしていないのですが、一等を当てたいっていう事を考えるとちょっと損をしている気分にはなります。

ということで、ここまでの結論としては、1000万枚を越えない範囲でなるべくたくさん買えばよい、となります^^。


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つぎに、勝率について考えてみたいと思います。
勝率とは一回の宝くじで何枚か買って、それらの当選金額が購入金額を上回る確率です。
2億円とかは魅力ですが、やっぱりトータルで勝つにこしたことはありません。

まず一枚だけ買ったときの勝てる確率、というか負けない確率、ですが、
これはどれかの賞に当選する確率なので、各賞の当選確率を単純に足していけば求まります。
計算してみると11.103%くらいになります。

もちろんこの中の10%は六等300円なので引き分けです。
1%が五等の分で2700円の勝ち、0.1%が9970円の勝ちです。
それ以上の100万円とかが当たる確率は0.003%ということになります。

次に複数枚買ったときの勝てる確率を考えたいのですが、
真面目に計算するのはちょっと面倒くさそうです。
そこでプログラムを書いてシミュレーションしてみました。

まず1000枚までの結果です。

10枚のときは勝率10.4%で、そのあと一気に減少、
100枚ではなんと0.39%にまで落ち込みます。
そのあと緩やかに上昇していくという結果がでました。

これは結構びっくりする結果じゃないかと思います。
勝率だけを考えたら、10枚買うよりも100枚買ったほうがものすごく不利です。
10.4%と0.39%なので25倍以上も違っています。

100枚というと3万円ですが、庶民にはなんとなく買いやすい枚数じゃないでしょうか?
まったくの想像ですが、ちょっと気合いをいれて宝くじ買ってやろうっていう人は
結構な割合で3万円勝負しているような気がします。
その3万円が勝率的にこんなにも不利だとはまったくもって驚きです。

ただ原因ははっきりしていて、それは五等3000円の影響です。
10枚のときはこれを一本当てれば勝ちになるのですが、
100枚買ってしまうとこれではダメです。
また20枚や30枚のときにはラッキーサマー賞の10000円でも勝てますが、100枚のときはこれもダメです。
という理由で40枚以降急激に勝率が悪くなっているのです。

200枚以降については四等100万円が当たることが結構出てくるので徐々に勝率が回復するのだと思います。
ではこの後も買えば買うほど勝率アップという結果なのでしょうか?

つぎは10,000枚(300万円)までの結果です。

4000枚までは順調に勝率が上がっていっています。
ところが、その後急落、再度1%にまでなってしまっています。
これはどうしたことでしょうか?

おそらく、四等100万円の影響です。
4000枚のときは購入金額120万ですが、四等100万円を当てれば大体勝てます。
五等と六等はほかっておいても当たるので、これで2割くらいはとれます。
よって100万が当たれば勝ち、当たらなければ負け、というパターンになります。
で、当たる確率がそこそこあるので勝率が高い、ということです。
5000枚になるとそれではダメなので急激に勝率が落ちるわけです。

次は100万枚までの結果です。

今度は20万枚、40万枚、100万枚のところにピークがあります。
理由は同様で、5000万円、1億円、2億円が当たる確率が高くなるところで勝率もあがっています。

この後はどうなるかというと、勝率はぐっと下がっていきます。
何故かと言えば2億円を一本当てただけでは勝てなくなってしまうからです。
みなさんも100万枚以上の宝くじを一度に買うのは控えましょう。

最後に横軸を対数にしたグラフを示します。


すでに述べたように、4000枚、4万枚、20万枚、40万枚、100万枚のところにピークがあります。

勝率としては、1枚や10枚の方が上ですが、これは厳密に言えば勝ちではなく、
300円とか3000円が当たって引き分けになっているだけのことです。

さて、このグラフと前に述べた一等の当たる確率の話を総合して結論を出したいと思います。

結論 : 宝くじを買うときは4000枚買いましょう^^。

どう考えてもこうなります。
1枚や10枚で勝った負けたと言っていてもしょうがないですし、
かといって100万枚買うのもちょっと大変です。
なので4000枚(120万円)がバランスのとれた枚数といえるでしょう。
何といっても勝率が8%もあります。
100回やっても92回しか負けずに済みますし、うまくいけば何億円か当たります。
間違っても3万円で100枚とかはやめましょう。


ということで、宝くじについて確率、勝率の面から考えてみました。
結局のところ、確率とか考えたら宝くじなんて買えないよね、っていう話でした。

チャリロトの期待値 ロト6の期待値

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